Obliczenia

Witajcie! Często na forum można zetknąć się z tematami, w których to gracze żalą się, że stoją bardzo długo na elicie i nie mogą zdobyć upragnionego przedmiotu legendarnego. Wiele było już teorii; ilu graczy, tyle obliczeń. Jak na absolwenta licealnego matfizu przystało, postanowiłem zastanowić się nad tym problemem. Przedstawiam Wam wyniki mojej pracy.

Te obliczenia mogą być stosowane jedynie w przypadku tych elit, z których wypada jeden przedmiot legendarny i odnoszą się do graczy bijących daną elitę samemu. Może po kolei: szansa na przedmiot legendarny przy 1 losowaniu wynosi 1/2000. Wpadło mi do głowy, że wraz ze wzrostem liczby ubić elity II, musi rosnąć ogólna szansa na zdobycie przedmiotu. W końcu dziwnie by było, gdyby w ciągu 20000 bić nie wypadł żaden przedmiot legendarny. Jednakże, ta szansa nigdy nie może osiągnąć 100%; mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym zbieżnym do 1. Jaka jest więc szansa na zdobycie legendy w ciągu 2 bić?

Mamy 4 możliwości. T – spada przedmiot legendarny, N – spada cokolwiek poza legendarnym: TT, TN, NT, NN. Przechodzimy do obliczeń. 1/2000*1/2000 + 2(1/2000*1999/2000) + (1999/2000)^2. Jako, że te wszystkie zdarzenia dają łącznie 1 (wypełniają całkowicie przestrzeń zdarzeń elementarnych), odrzucam NN, czyli brak legendy. Oznacza to, że szansę na zdobycz legendarną w zależności od liczby bić (losowań) można policzyć jako 1-(1999/2000)^n, gdzie n jest liczbą bić (losowań). Podkładamy teraz sensowne wartości: dla n=2 szansa na przedmiot legendarny wynosi 0,099975%. Jest to prawie, podkreślam – prawie 2 razy więcej, niż w przypadku jednego bicia. To słówko „prawie” sugeruje, że jesteśmy na właściwej drodze. Jeżeli podstawimy za n liczbę 100 bić (losowań), szansa na zdobycie przedmiotu legendarnego wynosi 4,8%. Dla 1000 bić ta szansa wzrasta do 39%, dla 2000 – do 63%. Oznacza to, że im więcej ubić, tym większa szansa na zdobycz legendarną, co założyłem już na początku. Oczywiście, ze wzoru 1-(1999/2000)^n wynika, że ta szansa nigdy nie osiągnie 1, choć będzie do tej wartości dążyła, co również spełnia moje założenia. Czyli nawet przy milionie ubić elity II istnieje minimalna (wręcz niezauważalna, ale jednak) szansa, że legendarny przedmiot nam , po prostu, nie spadnie.

Zdaję sobie jednak sprawę z tego, że wokół są mądrzejsi ode mnie, dlatego gdyby ktoś czuł się mocny z kombinatoryki i uważał, że moje obliczenia są błędne, zachęcam do komentowania. A pozostałym, w ramach ciekawostki, przypominam wzór, który można wklepać w kalkulator Google: 1-(1999/2000)^n, wynik należy przemnożyć przez 100 i odczytywać jako procenty. A dla leniwych, wklejam poniżej przykładowe wyniki.

Szansa na przynajmniej jeden przedmiot legendarny w ciągu:
100 bić – 4,8%
1000 bić – 39%
2000 bić – 63%
5000 bić – 91.7%